Контакты 244851268 Телефон 8(067)6446674
Логин: Пароль: Код проверки: captcha >>Забыли пароль?

Поиск

>>Расширенный

Категории

Новости

Вы здесь: Начало > Новости

площина

  1. Деякі характеристичні властивості площині [ правити | правити код ]
  2. Визначення по точці і вектору нормалі [ правити | правити код ]
  3. Відстань між паралельними площинами [ правити | правити код ]
  4. m-площину в просторі R n {\ displaystyle R ^ {n}} [ правити | правити код ]
  5. Приклади m-площин [ правити | правити код ]

Площина - одне з основних понять геометрії . При систематичному викладі геометрії поняття площини зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.

Площина - це поверхню або фігура , Утворена кинематическим рухом утворює по направляючої, що представляє собою пряму (нарисна геометрія).

Деякі характеристичні властивості площині [ правити | правити код ]

  • Площина - поверхня, яка містить повністю кожну пряму , Що сполучає будь-які її точки ;
  • Дві площини є або паралельними , Або перетинаються по прямій.
  • Пряма або паралельна площині, або перетинає її в одній точці, або знаходиться на площині.
  • Дві прямі, перпендикулярні однієї і тієї ж площині, паралельні один одному.
  • Дві площини, перпендикулярні одній і тій же прямій, паралельні один одному.

Вперше зустрічається у А. К. Клеро ( тисяча сімсот тридцять один ).

Рівняння площини у відрізках, мабуть, вперше зустрічається у Г. Ламі ( 1816 - 1818 ).

Нормальне рівняння ввів Л. О. Гессе ( тисячі вісімсот шістьдесят один ).

площина - алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площину може бути задана рівнянням першого ступеня.

  • Загальне рівняння (повне) площині

A x + B y + C z + D = 0 (1) {\ displaystyle Ax + By + Cz + D = 0 \ qquad (1)} A x + B y + C z + D = 0 (1) {\ displaystyle Ax + By + Cz + D = 0 \ qquad (1)}

де A, B, C {\ displaystyle A, B, C} де A, B, C {\ displaystyle A, B, C}   і D {\ displaystyle D}   - постійні, причому A, B {\ displaystyle A, B}   і C {\ displaystyle C}   одночасно не рівні нулю;  в   векторної   формі: і D {\ displaystyle D} - постійні, причому A, B {\ displaystyle A, B} і C {\ displaystyle C} одночасно не рівні нулю; в векторної формі:

(R, N) + D = 0 {\ displaystyle (\ mathbf {r}, \ mathbf {N}) + D = 0} (R, N) + D = 0 {\ displaystyle (\ mathbf {r}, \ mathbf {N}) + D = 0}

де r {\ displaystyle \ mathbf {r}} де r {\ displaystyle \ mathbf {r}}   - радіус-вектор точки M (x, y, z) {\ displaystyle M (x, y, z)}   , Вектор N = (A, B, C) {\ displaystyle \ mathbf {N} = (A, B, C)}   перпендикулярний до площини (нормальний вектор) - радіус-вектор точки M (x, y, z) {\ displaystyle M (x, y, z)} , Вектор N = (A, B, C) {\ displaystyle \ mathbf {N} = (A, B, C)} перпендикулярний до площини (нормальний вектор). напрямні косинуси вектора N {\ displaystyle \ mathbf {N}} :

cos ⁡ α = AA 2 + B 2 + C 2, {\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {A} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}} },} cos ⁡ α = AA 2 + B 2 + C 2, {\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {A} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}} },}   cos ⁡ β = BA 2 + B 2 + C 2, {\ displaystyle \ cos \ beta = {\ frac {B} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}} },}   cos ⁡ γ = C A 2 + B 2 + C 2 cos ⁡ β = BA 2 + B 2 + C 2, {\ displaystyle \ cos \ beta = {\ frac {B} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}} },} cos ⁡ γ = C A 2 + B 2 + C 2. {\ Displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {C} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}}}.}

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, рівняння називається неповним. При D = 0 {\ displaystyle D = 0} Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, рівняння називається неповним площину проходить через початок координат , При A = 0 {\ displaystyle A = 0} (Або B = 0 {\ displaystyle B = 0} , C = 0 {\ displaystyle C = 0} ) П. паралельна осі O x {\ displaystyle Ox} (Відповідно O y {\ displaystyle Oy} або O z {\ displaystyle Oz} ). При A = B = 0 {\ displaystyle A = B = 0} (A = C = 0 {\ displaystyle A = C = 0} , Або B = C = 0 {\ displaystyle B = C = 0} ) Площина паралельна площині O x y {\ displaystyle Oxy} (Відповідно O x z {\ displaystyle Oxz} або O y z {\ displaystyle Oyz} ).

  • Рівняння площини у відрізках:

x a + y b + z c = 1, {\ displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ frac {y} {b}} + {\ frac {z} {c}} = 1,} x a + y b + z c = 1, {\ displaystyle {\ frac {x} {a}} + {\ frac {y} {b}} + {\ frac {z} {c}} = 1,}

де a = - D / A {\ displaystyle a = -D / A} де a = - D / A {\ displaystyle a = -D / A}   , B = - D / B {\ displaystyle b = -D / B}   , C = - D / C {\ displaystyle c = -D / C}   - відрізки, що відсікаються площиною на осях O x, O y {\ displaystyle Ox, Oy}   і O z {\ displaystyle Oz} , B = - D / B {\ displaystyle b = -D / B} , C = - D / C {\ displaystyle c = -D / C} - відрізки, що відсікаються площиною на осях O x, O y {\ displaystyle Ox, Oy} і O z {\ displaystyle Oz} .

  • Рівняння площини, що проходить через точку M (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle M (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} , перпендикулярній вектору нормалі N (A, B, C) {\ displaystyle \ mathbf {N} (A, B, C)} :

A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0; {\ Displaystyle A (x-x_ {0}) + B (y-y_ {0}) + C (z-z_ {0}) = 0;} A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0;  {\ Displaystyle A (x-x_ {0}) + B (y-y_ {0}) + C (z-z_ {0}) = 0;}

в векторній формі:

((R - r 0), N) = 0. {\ displaystyle ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {0}}), \ mathbf {N}) = 0.} ((R - r 0), N) = 0 ((R - r 1), (r 2 - r 1), (r 3 - r 1)) = 0 {\ displaystyle ((\ mathbf {r} - \ mathbf {r_ {1}}), (\ mathbf {r_ {2}} - \ mathbf {r_ {1}}), (\ mathbf {r_ {3}} - \ mathbf {r_ {1}})) = 0}

(Змішане твір векторів), інакше

| x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 | = 0. {\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2} -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \\\ end {matrix}} \ right | = 0.} |  x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 |  = 0

  • Нормальне (нормоване) рівняння площини

x cos ⁡ α + y cos ⁡ β + z cos ⁡ γ - p = 0 (2) {\ displaystyle x \ cos \ alpha + y \ cos \ beta + z \ cos \ gamma -p = 0 \ qquad (2) } x cos ⁡ α + y cos ⁡ β + z cos ⁡ γ - p = 0 (2) {\ displaystyle x \ cos \ alpha + y \ cos \ beta + z \ cos \ gamma -p = 0 \ qquad (2) }

в векторній формі:

(R, N 0) - p = 0, {\ displaystyle (\ mathbf {r}, \ mathbf {N ^ {0}}) \ mathbf {-p} = 0,} (R, N 0) - p = 0, {\ displaystyle (\ mathbf {r}, \ mathbf {N ^ {0}}) \ mathbf {-p} = 0,}

де N 0 {\ displaystyle \ mathbf {N ^ {0}}} де N 0 {\ displaystyle \ mathbf {N ^ {0}}}   - одиничний вектор, p {\ displaystyle p}   - відстань П - одиничний вектор, p {\ displaystyle p} - відстань П. від початку координат. Рівняння (2) може бути отримано з рівняння (1) множенням на нормуючий множник

μ = ± 1 A 2 + B 2 + C 2 {\ displaystyle \ mu = \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}}} } μ = ± 1 A 2 + B 2 + C 2 {\ displaystyle \ mu = \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}}} }

(Знаки μ {\ displaystyle \ mu} (Знаки μ {\ displaystyle \ mu}   і D {\ displaystyle D}   протилежні) і D {\ displaystyle D} протилежні).

Визначення по точці і вектору нормалі [ правити | правити код ]

У тривимірному просторі одним з найважливіших способів визначення площині є вказівка ​​точки на площині і вектора нормалі до неї.

Припустимо, r 0 {\ displaystyle r_ {0}} Припустимо, r 0 {\ displaystyle r_ {0}}   є радіусом-вектором точки P 0 {\ displaystyle P_ {0}}   , Заданої на площині, і припустимо, що n - це ненульовий вектор, перпендикулярний до площини (нормаль) є радіусом-вектором точки P 0 {\ displaystyle P_ {0}} , Заданої на площині, і припустимо, що n - це ненульовий вектор, перпендикулярний до площини (нормаль). Ідея полягає в тому, що точка P {\ displaystyle P} з радіусом-вектором r знаходиться на площині тоді і тільки тоді, коли вектор, проведений від P 0 {\ displaystyle P_ {0}} до P {\ displaystyle P} , Перпендикулярний n.

Повернемося до того, що два вектора є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Звідси випливає, що потрібна нам площину може бути виражена як безліч всіх точок r таких, що:

n ⋅ (r - r 0) = 0. {\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.} n ⋅ (r - r 0) = 0 (Тут точка означає скалярний твір, а не множення.)

Розгорнувши вираз, ми отримаємо:

nx (x - x 0) + ny (y - y 0) + nz (z - z 0) = 0, {\ displaystyle n_ {x} (x-x_ {0}) + n_ {y} (y-y_ {0}) + n_ {z} (z-z_ {0}) = 0,} nx (x - x 0) + ny (y - y 0) + nz (z - z 0) = 0, {\ displaystyle n_ {x} (x-x_ {0}) + n_ {y} (y-y_ {0}) + n_ {z} (z-z_ {0}) = 0,}

що є знайомим нам рівнянням площини.

Наприклад: Дано: точка на площині P (2, 6, - 3) {\ displaystyle P (2,6, -3)} Наприклад: Дано: точка на площині P (2, 6, - 3) {\ displaystyle P (2,6, -3)}   і вектор нормалі N (9, 5, 2) {\ displaystyle N (9,5,2)} і вектор нормалі N (9, 5, 2) {\ displaystyle N (9,5,2)} .

Рівняння площини записується так:

9 (x - 2) + 5 (y - 6) + 2 (z + 3) = 0 {\ displaystyle 9 (x-2) +5 (y-6) +2 (z + 3) = 0} 9 (x - 2) + 5 (y - 6) + 2 (z + 3) = 0 {\ displaystyle 9 (x-2) +5 (y-6) +2 (z + 3) = 0}

- 18 + 9 x - 30 + 5 y + 6 + 2 z = 0 {\ displaystyle -18 + 9x-30 + 5y + 6 + 2z = 0} - 18 + 9 x - 30 + 5 y + 6 + 2 z = 0 {\ displaystyle -18 + 9x-30 + 5y + 6 + 2z = 0}

9 x + 5 y + 2 z - 42 = 0 {\ displaystyle 9x + 5y + 2z-42 = 0} 9 x + 5 y + 2 z - 42 = 0 {\ displaystyle 9x + 5y + 2z-42 = 0}

Відстань від точки до площини - це найменше з відстаней між цією точкою і точками площини. Відомо що відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

δ = x 1 cos ⁡ α + y 1 cos ⁡ β + z 1 cos ⁡ γ - p; {\ Displaystyle \ delta = x_ {1} \ cos \ alpha + y_ {1} \ cos \ beta + z_ {1} \ cos \ gamma -p;} δ = x 1 cos ⁡ α + y 1 cos ⁡ β + z 1 cos ⁡ γ - p;  {\ Displaystyle \ delta = x_ {1} \ cos \ alpha + y_ {1} \ cos \ beta + z_ {1} \ cos \ gamma -p;}   δ> 0 {\ displaystyle \ delta> 0}   , Якщо M 1 {\ displaystyle M_ {1}}   і початок координат лежать по різні боки площини, в протилежному випадку δ <0 {\ displaystyle \ delta <0} δ> 0 {\ displaystyle \ delta> 0} , Якщо M 1 {\ displaystyle M_ {1}} і початок координат лежать по різні боки площини, в протилежному випадку δ <0 {\ displaystyle \ delta <0} . Відстань від точки до площини дорівнює | δ | . {\ Displaystyle | \ delta |.} ρ = | ax 0 + by 0 + cz 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 {\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ mid ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0} + d \ mid} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}}

Відстань між паралельними площинами [ правити | правити код ]

d = | D 2 - D 1 | A 2 + B 2 + C 2 {\ displaystyle d = {\ frac {\ mid D_ {2} -D_ {1} \ mid} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}}}} d = | D 2 - D 1 | A 2 + B 2 + C 2 {\ displaystyle d = {\ frac {\ mid D_ {2} -D_ {1} \ mid} {\ sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}}}}}   d = | [r ¯ 2 - r ¯ 1, n ¯] | | n ¯ | {\ displaystyle d = {\ frac {\ mid [{\ bar {r}} _ {2} - {\ bar {r} } _ {1}, {\ bar {n}}] \ mid} {\ mid {\ bar {n}} \ mid}}} d = | [r ¯ 2 - r ¯ 1, n ¯] | | n ¯ | {\ displaystyle d = {\ frac {\ mid [{\ bar {r}} _ {2} - {\ bar {r} } _ {1}, {\ bar {n}}] \ mid} {\ mid {\ bar {n}} \ mid}}}

  • Кут між двома площинами. Якщо рівняння П. задані у вигляді (1), то

cos ⁡ φ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 (A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2); {\ Displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} + C_ {1} C_ {2}} {\ sqrt {(A_ {1} ^ { 2} + B_ {1} ^ {2} + C_ {1} ^ {2}) (A_ {2} ^ {2} + B_ {2} ^ {2} + C_ {2} ^ {2})} }};} cos ⁡ φ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 (A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2);  {\ Displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} + C_ {1} C_ {2}} {\ sqrt {(A_ {1} ^ { 2} + B_ {1} ^ {2} + C_ {1} ^ {2}) (A_ {2} ^ {2} + B_ {2} ^ {2} + C_ {2} ^ {2})} }};}

Якщо у векторній формі, то

cos ⁡ φ = (N 1, N 2) | N 1 | | N 2 | . {\ Displaystyle \ cos \ varphi = {\ frac {(\ mathbf {N_ {1}}, \ mathbf {N_ {2}})} {| \ mathbf {N_ {1}} || \ mathbf {N_ {2 }} |}}.} cos ⁡ φ = (N 1, N 2) |  N 1 |  |  N 2 | A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 {\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {B_ {1}} {B_ {2}}} = {\ frac {C_ {1}} {C_ {2}}}} або [N 1, N 2] = 0. {\ displaystyle [\ mathbf {N_ {1}}, \ mathbf {N_ {2}}] = 0.} (Векторний витвір)

  • Площині перпендикулярні, якщо

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} + C_ {1} C_ {2} = 0} A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 {\ displaystyle A_ {1} A_ {2} + B_ {1} B_ {2} + C_ {1} C_ {2} = 0}   або (N 1, N 2) = 0 {\ displaystyle (\ mathbf {N_ {1}}, \ mathbf {N_ {2}}) = 0} або (N 1, N 2) = 0 {\ displaystyle (\ mathbf {N_ {1}}, \ mathbf {N_ {2}}) = 0} . (Скалярний добуток)

  • Пучок площин - все площини, що проходять через лінію перетину двох площин. Рівняння пучка площин, тобто будь-якій площині, що проходить через лінію перетину двох площин, має вигляд [1] : 222:

α (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0, {\ displaystyle \ alpha (A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} z + D_ {1}) + \ beta (A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} z + D_ {2}) = 0,} α (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0, {\ displaystyle \ alpha (A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} z + D_ {1}) + \ beta (A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} z + D_ {2}) = 0,}   де α {\ displaystyle \ alpha}   і β {\ displaystyle \ beta}   - будь-які числа, не рівні одночасно нулю де α {\ displaystyle \ alpha} і β {\ displaystyle \ beta} - будь-які числа, не рівні одночасно нулю. Рівняння самої цієї лінії можна знайти з рівняння пучка, підставляючи α = 1, β = 0 і α = 0, β = 1.

  • Зв'язка площин - все площини, що проходять через точку перетину трьох площин [1] : 224. Рівняння зв'язки площин, тобто будь-якій площині, що проходить через точку перетину трьох площин, має вигляд:

α (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) + γ (A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3) = 0, {\ displaystyle \ alpha (A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} z + D_ {1}) + \ beta (A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} z + D_ {2}) + \ gamma (A_ {3} x + B_ {3} y + C_ {3} z + D_ {3}) = 0,} α (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1) + β (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) + γ (A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3) = 0, {\ displaystyle \ alpha (A_ {1} x + B_ {1} y + C_ {1} z + D_ {1}) + \ beta (A_ {2} x + B_ {2} y + C_ {2} z + D_ {2}) + \ gamma (A_ {3} x + B_ {3} y + C_ {3} z + D_ {3}) = 0,}   де α {\ displaystyle \ alpha}   , Β {\ displaystyle \ beta}   і γ {\ displaystyle \ gamma}   - будь-які числа, не рівні одночасно нулю де α {\ displaystyle \ alpha} , Β {\ displaystyle \ beta} і γ {\ displaystyle \ gamma} - будь-які числа, не рівні одночасно нулю. Саму цю точку можна знайти з рівняння зв'язки, підставляючи α = 1, β = 0, γ = 0; α = 0, β = 1, γ = 0 і α = 0, β = 0, γ = 1 і вирішуючи отриману систему рівнянь.

m-площину в просторі R n {\ displaystyle R ^ {n}} [ правити | правити код ]

Нехай дано n-мірне Афінний-конечномерное простір K n (V, P) {\ displaystyle K ^ {n} (V, P)} Нехай дано n-мірне Афінний-конечномерное простір K n (V, P) {\ displaystyle K ^ {n} (V, P)}   , Над полем дійсних чисел , Над полем дійсних чисел. У ньому обрана прямокутна система координат O, e 1 →,. . . , E n → {\ displaystyle O, {\ vec {e_ {1}}}, ..., {\ vec {e_ {n}}}} . m-площиною називається безліч точок α {\ displaystyle \ alpha} , Радіус вектори яких задовольняють наступному співвідношенню α = {x | x = A n m t m → + d →}. {\ Displaystyle \ alpha = \ {x \ mid x = A_ {nm} {\ vec {t_ {m}}} + {\ vec {d}} \}.} A n m {\ displaystyle A_ {nm}} - матриця, стовпці якої утворює напрямні підпростір площині, t → {\ displaystyle {\ vec {t}}} - вектор змінних, d → {\ displaystyle {\ vec {d}}} - радіус-вектор однієї з точок площини.
Зазначене співвідношення можна з матрично-векторного виду перевести в векторний:
x = a 1 → t 1 + ... + am → tm + d, ai → ∈ V {\ displaystyle x = {\ vec {a_ {1}}} t_ {1} + \ ldots + {\ vec {a_ {m }}} t_ {m} + d, {\ vec {a_ {i}}} \ in V} - векторне рівняння m-площині.
Вектора a i → {\ displaystyle {\ vec {a_ {i}}}} утворюють направляє підпростір. Дві m-площині α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta} називаються паралельними, якщо їх направляють простору збігаються і ∃ x ∈ α: x ∉ β {\ displaystyle \ exists x \ in \ alpha: x \ notin \ beta} .

(N-1) -плоскость в n-вимірному просторі називається гиперплоскостью або просто площиною. Для гиперплоскости існує загальне рівняння площини. Нехай n → {\ displaystyle {\ vec {n}}} (N-1) -плоскость в n-вимірному просторі називається   гиперплоскостью   або просто площиною - нормальний вектор площини, r → = (x 1,..., X n) {\ displaystyle {\ vec {r}} = (x ^ {1}, ..., x ^ {n})} - вектор змінних, r 0 → {\ displaystyle {\ vec {r_ {0}}}} - радіус вектор точки, що належить площині, тоді:
(R → - r 0 →, n →) = 0 {\ displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {0}}}, {\ vec {n}}) = 0} - загальне рівняння площини.
Маючи матрицю напрямних векторів, рівняння можна записати так: det (r → - r 0 → | A n, n - 1) = 0 {\ displaystyle \ det ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {0} }} | A_ {n, n-1}) = 0} , Або:
| x 1 - x 0 1 a 1 + 1 a 2 1. . . a n - 1 + 1 x 2 - x 0 2 a 1 2 a 2 1. . . a n - 1 | 2. . . . . . . . . . . . x n - x 0 n a 1 n a 2 n. . . a n - 1 n | = 0 {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x ^ {1} -x_ {0} ^ {1} & a_ {1} ^ {1} & a_ {2} ^ {1} & ... & a_ {n-1 } ^ {1} \\ x ^ {2} -x_ {0} ^ {2} & a_ {1} ^ {2} & a_ {2} ^ {1} & ... & a_ {n-1} ^ {2 } \\ ... & ... & ... & ... \\ x ^ {n} -x_ {0} ^ {n} & a_ {1} ^ {n} & a_ {2} ^ {n} & ... & a_ {n-1} ^ {n} \ end {vmatrix}} = 0} .
Кутом між площинами називається найменший кут між їх нормальними векторами.

Приклади m-площин [ правити | правити код ]

  1. Прикладом 1-площині в тривимірному просторі (n = 3) служить пряма . Її векторне рівняння має вигляд: α = {ax, ay, az} t + {bx, by, bz} {\ displaystyle \ alpha = \ {a_ {x}, a_ {y}, a_ {z} \} t + \ {b_ {x}, b_ {y}, b_ {z} \}} . У разі n = 2 пряма є гиперплоскостью.
  2. Гіперплоскость в тривимірному просторі відповідає звичному поняттю площині.

Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 240 с.